高中数学几何二面角求解,高考几何二面角

1.如何求二面角 综合法求二面角

2.线面角和二面角求解技巧求解二面角问题的策略

3.关于高中数学二面角

4.用几何法求二面角的步骤

5.高考数学问题，如何用空间向量求立体几何中的二面角的正切值

6.请问一下高中数学立体几何部分，关与二面角，线面角的解题方法和解题标准格式（还没学过空间向量）

7.二面角的做法

二面角的定义：

　 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面)。

二面角的大小可以用它的平面角度来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

作二面角的平面角的常用方法有六种：

1、定义法 ：在棱上取一点A，然后在两个平面内分别作过棱上A点的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2、垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3、面积射影定理：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。即公式cosθ=S'/S（S'为射影面积，S为斜面面积）。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。

4、三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。

6、转化法：在二面角α-l-β其中一个半平面α上找一点P，求出P到β的距离h和P到l的距离d，那么arcsin(h/d)（二面角为锐角）或π-arcsin(h/d)（二面角为钝角）就是二面角的大小。

如何求二面角 综合法求二面角

解：

1、证明：

以点d为坐标原点，分别以da、dc、ds为坐标x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系。则易得各点坐标：b(根号2,2,0），a（根号2,0,0）；设m（0，y，z）。

则：向量bm=(负根号2，y-2，z），向量ba=（0，-2，0），所以（向量bm)?(向量ba)=4-2y=根号[2+(y-2)?+z?]。又点m在直线sc上，而直线sc方程为：z=2-y。

所以联立4-2y=根号[2+(y-2)?+z?]和z=2-y，解得y=1或y=3。又因为m在线段sc上，即y≤2。所以y=1，所以z=1，所以点m坐标为（0,1,1）。

又因为点s坐标为（0,0,2），点c坐标为（0,2,0），所以易得m为sc中点。

原题得证。

2、

连结am，作bp垂直于am于点p。因为上题已证点m为sc中点，所以易得bm=2，又角abm=60°，所以三角形abm为等边三角形。所以点p为am中点且bp=根号3。

在sa上作一点q，使连线qp垂直am于p。则根据定义，角qpb即为二面角s-am-b的平面角。

连结ac、qb。因为sa=ac=根号6，且点m为sc中点，所以am垂直于sc，即三角形sma为直角三角形。又点p为am中点，所以根据相似关系，易得qp=0.5*sm=0.5*根号2，qb=0.5*根号22。所以根据余弦定理可得：cos角sma=（-根号6）/3。

其实求二面角就是靠定义，根据定义找出二面角后一般都比较好求的，难一点的还可以用向量法。建议你去百度百科查一下二面角，里面的信息很详细，希望对你有帮助。

线面角和二面角求解技巧求解二面角问题的策略

综合法求二面角

一、基本知识

1．二面角图形的识别与思考途径：①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③观察是否有直线⊥半平面；④观察是否有平面⊥半平面；⑤观察是否有直线⊥棱． 2．立体几何中，几种常用的平面图形的计算：

① 4：2：1（）矩形中的垂直；②Rt Δ中，斜边上的高的计算；③ RtΔ中，直角边上一点向斜边引垂线，垂线段的计算．

3．若∠POA ＝∠POB ，则PO 在α内的射影是∠AOB 的平分线；

二、求直线与平面所成的角、求二面角的三种基本模式：

1．模式一：夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面．

题1（09、湖北、理）如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝2a ，AD ＝√2a, 点E 是SD 上一点，且DE ＝λa(0＜λ≤2) ．（1）求证：对任意的λ∈（0，2],都有AC ⊥BE ；（2）设二面角C －AE －D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为Φ．若tan θ·tan Φ＝1，求λ的值．

解：（1）AC ⊥BD, AC⊥SD ，所以AC ⊥平面SBD ，又BE 在平面SBD 内，∴AC ⊥BE （图1）； 二面角的识图：①找二面角的棱；②找二面角的两个半平面；③找图形特征（二面角的三种模式特征） 斜线与平面所成的角的识图：①找斜线；②找垂线；③找射影 （2）图2：夹在二面角C －AE －D 的直线CD ⊥半平面ADE

作DH ⊥AE 于H ，由三垂线定理知：CH ⊥AE ，所以∠CHD ＝θ，在Rt ΔADE 中，DH ＝

DE ·DA AE

＝

λa 2a λa +2a

2

2

2

＝

2·λa

，tan θ＝CD ：DH ＝2a ：

λ+2

2

2·λa

＝

λ+2λ

2

．

λa

2a

λ+2

2

又∠EBD ＝Φ，则tan Φ＝DE ：BD ＝＝

λ

2

．由tan θ·tan

Φ＝1，有

λ+2λ

2

·

λ

2

＝1．

解得：λ＝√2．

评注：①本题把“平面的斜线与平面所成的角”、“二面

角”融合为一道题，结合08、湖北考题，可以估测湖北考

题方向及武汉市2、4月模拟考题方向；②解答这类问题，首先要认识图形，掌握“平面的斜线与平面所成的角”、“二面角”的识图方法；③本题的图形模式是最简单的，“平面的斜线与平面所成的角”中，有一条直线⊥平面；④“二面角” 的图形中，夹在二面角内的一条直线垂直于其中的一个半平面．

2．模式二：夹在二面角内的一条直线垂直于棱．

题2（08、全国Ⅰ）四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝√2，AB ＝AC ．（1）求证：AD ⊥CE ；（2）设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C －AD －E 的大小．

（1） 证明：作AH ⊥BC 于H ，

则AH ⊥底面BCDE ．所以：DH 是AD 在底面BCDE 上的射影．易证：CE ⊥DH ，由三垂线定理：AD ⊥CE ． （2）①所求二面角C －AD －E 的棱是AD ；②两个半平面分别是CAD 、EAD ；③图形特征是：夹在二面角C －AD －E 内的一条直线CE ⊥棱AD

解 作CF ⊥AD 于F ，∵AD ⊥CE ，∴AD ⊥面EFC ．所以：EF ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠EFC 是二面角C －AD －E 的平面角找、作、证→算．

①AH ＝DH ＝√3，得AD ＝√6，得AE ＝√6； ②由此△ACD 为Rt △，∴CF ·AD ＝AC ·DC ； ③S ADE ＝

12

12

DE ·A2＝AD ·EF ．从而求出EF 、CF ．

④在△EFC 中，用余弦定理，求∠EFC ．

评注：①夹在二面角E －AD －C 内的一条直线CE 垂直于棱，是作二面角的平面角的依托；②空间图形的分解，是基本功；

3．模式三：夹在二面角内的一个平面⊥其中的一个半平面． 题3（08、湖南、理17) ：四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠BCD ＝600，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2．（1

）

求证：平面PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成锐二面角的大小． （1）证明：证明α经过β的一条垂线 B E ⊥CD ，CD ∥AB ，所以：BE ⊥AB ．又BE ⊥PA ， 所以：BE ⊥面PAB ．又BE 在平面PBE 内，∴ 平面PBE ⊥平面PAB ；

（2）解 无棱二面角PAD －PBE 设BE 与AD 交于F ，

由（1）知：面PA B ⊥二面角A －PF －B 的一个半平面PBF ．

作A G ⊥PB 于G ，则PF ⊥AG ．

作GH ⊥PF 于H ，则PF ⊥面AHG ．∴∠AHG 是二面角A －PF －B 的平面角．在R t △AGH 中，AH ＝2，AG ＝

25

5

，所

以sin ∠AHG ＝AG ：AH ＝．

评注：①无棱二面角的棱的作法，有两条依据；②凭借“夹在二面角A －PF －B 内的一个平面PAB ⊥其中的一个半平面PBF ”，作出二面角的平面角；③如果在图形中，出现“三条直线两两垂直”，可考虑向量法．

高考试题巩固练习

1．(08、陕西、文19) ：三棱锥被平行于底面ABC 的平面截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝900，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝√3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．（1

）求

证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1；

（1）证明：BC ⊥AD ，BC ⊥A 1A ，所以：

BC ⊥面A 1AD ．又∵BC 在平面BCC 1B 1内，所以： 平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1；

（2）求二面角A －CC 1－B 的大小。

①找二面角A －CC 1－B 的棱；②找半平面；③找图形特点 存在一个半平面ABC 与二面角的半平面A －CC 1－A 1垂直 解：过A 作AE ⊥CC 1于E ，连BE 。

∵BA ⊥面CC 1A 1A ，CC 1在平面CC 1A 1A 内，∴BA ⊥C 1C 。

又CC 1⊥AE ，∴CC 1⊥BE ?∠AEB 是二面角A －CC 1－B 的平面角。 在Rt ΔABE 中，tan ∠

AEB=

A B A E

==3

所以：二面角A －CC 1－B 的平面角为

3

.

2．（09、全国2）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A B ⊥AC ，DE 分别为AA 1、B 1C 的中点，D E ⊥平面BCC 1．（1）求证：AB ＝AC ；（2）设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．

解：（1）连结BE ，∵ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠B 1BC ＝90． ∵E 为B 1C 的中点，∴BE ＝CE(矩形的对角线相等) ．

又D E ⊥平面BCC 1，∴BD ＝CD （射影相等的两条斜线段相等）． 而D A ⊥平面ABC ，

∴AB ＝AC （相等的斜线段的射影相等）．

（2）求B 1C 与平面BCD 所成的线面角，只需求点B 1到面BCD 的距离即可．

作A G ⊥BD 于G ，连GC ，则G C ⊥BD ，∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．∠AGC ＝600．不妨设AC ＝23，则AG ＝2，GC ＝4．在R t △ABD 中，由AD ·AB ＝BD ·AG ，易得AD ＝√6．

设点B 1到面BDC 的距离为h ，B 1C 与平面BCD 所成的角为α． 由V D -B 1BC =V B 1-BDC ，∴

13

13

S ?B 1BC ·DE ＝S ?BDC ·h ，可求得

h

=BC ＝2√6，∴B 1C ＝4√3．

所以：sin α＝h ：B 1C

＝4√3＝1/2．α＝30．

3． （09、重庆）如图，在四棱锥S -A B C D 中，A D ∥B C 且A D ⊥C D ；平面C S D ⊥平面A B C D ，CS ⊥DS , CS =2AD =2；E 为B S

的中点，

C E =

AS =

（1）点A 到平面B C S 的距离；

解：（1）A 点到平面B C S 的距离=D点到平面B C S 的距离=DS 在R t ?

A D S 中，DS =

=

=∴点A 到平面B C S 的距离

。（2）二面角E -C D -A 的大小

（2）过E 作EG ⊥CD , 交C D 于点G ，又过G 点作G H ⊥C D , 交AB 于H ，故∠

为

二面角E -C D -A 的平面角，记为θ，过E 点作EF//BC,交C S 于点F, 连结GF, 因平面

π

ABCD ⊥平面CSD , GH ⊥CD , 易知GH ⊥GF , 故θ=-∠E G F .

2

由于E 为BS 边中点?F 为CS 的中点?E F =1。

CD =

=

=

E F F G

?G F =

，

π

3

在R t ?

F E G 中，tan E G F =的大小为θ=

π

6

=可得∠E G F =，故所求二面角

。

4（09、湖北、文）四棱锥P －ABC 的底面是正方形，P D ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．（1）求证：平面AE C ⊥平面PDB ；（2）当PD ＝√2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵P D ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ， ∴平面AE C ⊥平面PDB ；

（2）设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角。

∵O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD，OE ＝

12

PD 。

1又∵P D ⊥面ABCD ， ∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，OE ＝PD ＝

2AB

＝AO ， ∴∠AOE ＝450

。

即AE 与平面PDB 所成的角的大小为450

．

5．（09、安徽）如图，四棱锥F －ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2，

BD=

，AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2。

（1）求二面角B －A F －D 的大小； 解：（I ）连接AC 、BD 交于菱形的中心O ，过O 作OG ⊥AF ，G 为垂足．连接BG 、DG ．由BD ⊥AC ，BD ⊥CF 得BD ⊥平面ACF ，故BD ⊥AF ．

2

2

于是AF ⊥平面BGD ，所以BG ⊥AF ，DG ⊥AF ，∠BGD 为二面角B －AF －D 的平面角． 由F C ⊥A C ， FC =AC =2，得∠F A C =

π

4

，O G =

2

。

由O B ⊥O G , O B =O D =

2

，得∠B G D =2∠B G O =

π

2

。

（2）求四棱锥E －ABCD 与四棱锥F －ABCD 公共部分的体积.

解：连EB 、EC 、ED ，设直线AF 与直线CE 相交于点H ，则四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 的公共部分为四棱锥H －ABCD ． 过H 作HP ⊥平面ABCD ，P 为垂足． 因为EA ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，，所以平面ACFE ⊥平面ABCD ，从而P ∈AC ，HP ⊥AC ． 由

HP CF ==AP AC

，

H P A E HP CF

P C A C H P

，两式相加：

=AP AC

+P C A C

=1?

+

A E 23

得H P =．

12

A C ?B D =

又因为S 菱形A B C D =

故四棱锥H-ABCD

的体积V =

13

S 菱形ABC D ?H P =

9

6．在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。（1）证明：直线EE 1//平面FCC 1；

解：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD， //

所以CD=A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A1D ，

又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A1D ， 所以CF 1//EE1，又因为EE 1?平面FCC 1，C F 1?平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1. （2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值

（2）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形。 取CF 的中点O, 则OB ⊥CF, 又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD, 所以CC 1⊥BO, 所以OB ⊥平面CC 1F, 过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F, 垂足为P , 连接BP , 则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中

, O B =

O P C C 1

O F C 1F

在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F ，∵

=

∴O P =

2=

2

。

在Rt △OPF 中

, BP ==

=

2

, cos ∠O PB =

O P BP

=

=, 所以

72

二面角B-FC 1-C

7

。

关于高中数学二面角

摘 要：二面角是立体几何中的重要内容，是高考考查的重点，同时也是学习的难点，为此，笔者结合一些高考题来分析、总结解这类问题的方法. 求解立体几何中二面角问题的方法，可概括为“找”“作”“造”.

关键词：二面角；平面角；定义法；垂面法；三垂线法；面积射影法；法向量法

二面角是立体几何中的重要内容，是高考考查的重点，同时也是学生学习的难点，为此，笔者结合一些高考题来分析、总结解这一类问题的方法.

求解二面角问题的方法，笔者概括为“找”“作”“造”.

“找”――看所给立体几何图形中有无二面角的平面角

“找”的依据是二面角的平面角的主要特征――顶点在棱上，角所在的平面垂直于棱.

例1（2008北京）如图1，在三棱锥P－ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（1）求证：PC⊥AB；

（2）求二面角B－AP－C的大小；

（3）（理）求点C到平面APB的距离.

图1

解析（1）如图2，取AB的中点D，连结PD，CD.

因为AP=BP，所以PD⊥AB.

因为AC=BC，所以CD⊥AB.

因为PD∩CD=D，

所以AB⊥平面PCD.

因为PC?奂平面PCD，所以PC⊥AB.

图2

（2）因为AC=BC，AP=BP，PC=PC，

所以△APC≌△BPC.

又PC⊥AC，所以PC⊥BC.

又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，所以BC⊥平面PAC.

图3

如图3，取AP的中点E，连结BE，CE，

因为AB=BP，所以BE⊥AP.

因为EC是BE在平面PAC内的射影，所以CE⊥AP.

所以∠BEC是二面角B－AP－C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE=AB=，所以sin∠BEC==. 所以二面角B－AP－C的大小为arcsin.

（3）略.

“作”――在立体几何图形中作出有关二面角的平面角

“作”一般有下列三种方法：

1. 定义法

定义法是指二面角的棱上任意一点在两个半平面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角. 它适用于具有某种对称性的题目.

例2（2008湖南文）如图4，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=.

（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；

（2）求二面角A－BE－P的大小.

解析（1）如图5，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，

所以BE⊥CD. 又AB∥CD，

所以BE⊥AB.

图5

又因为PA⊥底面ABCD，BE?奂平面ABCD，

所以PA⊥BE.

而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB.

又BE?奂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAB.

（2）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?奂平面PAB，所以PB⊥BE.

又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.

在Rt△PAB中，tan∠PBA==，所以∠PBA=60°.

故二面角A－BE－P的大小是60°.

2. 垂面法

垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截二面角的两个平面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出平面角的一种方法.

例3 （2008全国Ⅰ）如图6，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC.

图6

（1）证明：AD⊥CE；

（2）（理）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C－AD－E的大小.

解析（1）略.

（2）因为侧面ABC⊥面BCDE，且BE⊥BC，所以BE⊥面ABC. 所以面ABC⊥面ABE. 如图7，作CM⊥AB于M，连结EM，则CM⊥面ABE.

因此∠CEM=45°. 而CE=，因此CM=CE=，sin∠CBA=，∠CBA=60°. 所以△ABC为等边三角形.

图7

作CH⊥AD于H，连结EH，

因为AD⊥CE，CH⊥AD，

所以AD⊥面CHE.

所以AD⊥EH. 又CD⊥AC，

所以AD=，

CH=2×=，

DH=×=，

EH=.

cos∠CHE==－.

所以二面角C－AD－E的大小为arccos－.

3. 三垂线法

三垂线法是指通过二面角的一个半平面内某点P向另一个半平面作垂线（一般方法是利用面面垂直的性质定理），垂足为O，再过O向棱作垂线，垂足为O1，则∠OO1P即为所求二面角的平面角（钝二面角是其补角）.

例4（2008天津）如图8，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，∠PAB=60°.

（1）证明：AD⊥平面PAB；

（2）求异面直线PC与AD所成交角的大小；

（3）求二面角P－BD－A的大小.

解析（1）（2）略.

图9

（3）如图9，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE. 因为AD⊥平面PAB，

PH?奂平面PAB，

所以AD⊥PH.

又AD∩AB=A，

因而PH⊥平面ABCD.

故HE为PE在平面ABCD内的射影.

由三垂线定理可知，BD⊥PE，

从而∠PEH为二面角P－BD－A的平面角.

由题设可知，

PH=PA?sin60°=，

AH=PA?cos60°=1，

BH=AB－AH=2，

BD==，

HE=?BH==.

于是在Rt△PHE中，

tan∠PEH==.

所以二面角P－BD－A的大小为arctan.

“造”――构造“射影”或构造“向量”求解

1. 面积射影法

所谓面积射影法，就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用cosθ=来计算二面角的一种方法（其中θ为二面角）.

利用这种方法，可以有效地解决二面角问题中的无棱及虽有棱但二面角的平面角不好表示的题目.

例5（2008天津）题目如同例4，在这里只说明第（3）问.

解析（3）过点P作PH⊥AB于点H，

过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.

因为AD⊥平面PAB，

PH?奂平面PAB，

所以AD⊥PH.

又AD∩AB=A，

因而PH⊥平面ABCD.

故HE为PE在平面ABCD内的射影. 由三垂线定理可知，BD⊥PE.

从而∠PEH为二面角P－BD－A的平面角.

图10

由题设可知，PH=PA?sin60°=，AH=PA?cos60°=1，BH=AB－AH=2，

BD==，

HE=?BH==.

所以PE==，

S△PBD=BD?PE=.

又AH=1，BH=2，AD=2，

所以S△HBD=S△ABD－S△AHD=（6－2）=2.

所以cosθ====，即二面角P－BD－A的大小为arccos.

上述方法虽然成功地对一些无棱问题进行了解答，但它也受一定条件的限制，即题目中必须有一个三角形是另一个三角形在某一个平面内的射影，若这个条件不存在，我们就得考虑用另外的方法，即法向量法.

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 2. 法向量法

法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角平面角相等或互补的关系求二面角的一种方法. 利用法向量求二面角时，两平面的法向量所成的角与二面角是“相等”还是“互补”便成为难点和关键. 在这里，笔者依托线性规划中二元一次不等式表示平面区域的判定方法，运用“类比法”得到利用法向量求解二面角的一种简捷、有效的方法.

在利用法向量求二面角时，两半平面法向量的夹角与二面角的大小只有两种情况，而按其法向量分类应有下列四种情况：

如上四图，设二面角α－l－β的大小为θ，a，b分别为α，β的任一法向量，其夹角为〈a，b〉，图12、13中有θ=〈a，b〉，图11、14中θ=π－〈a，b〉. 如何判断θ与〈a，b〉是“相等”还是“互补”呢？笔者运用类比联想，就能否找到一特殊向量来检验，发现了如下结论：

任取A∈α，B∈β，且A，B?埸l，分别根据向量的数量积?a，?b的符号判断θ与〈a，b〉的关系.

图11中有?a>0，?b0，?b>0，两积同号，θ=〈a，b〉；

图14中有?a0，两积异号，θ=π－ 〈a，b〉；

称为检验向量.

则上述结论可概括为“同等异补”（若?a，?b同号，则θ=〈a，b〉；若异号，则θ=π－〈a，b〉），采用的策略是“法向量定值，特殊向量定角”．

注意（1）检验向量若取，则由=－可知上述结论成立，由此可知与检验向量的方向无关.

（2）?埸l，否则有?a=0或?b=0．

例6（2008湖南文）题目如同例2，在这里只说明第（2）问.

图15

解析（2）如图15，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz．

则A（0，0，0），

B（1，0，0），

C，，0，

D，，0，

P（0，0，），

E1，，0.

所以=（1，0，－），

=0，，0.

设n1=（x1，y1，z1）是平面PBE的一个法向量，

则由n1?=0，n1?=0，

得x1+0×y1-×z1=0，0×x1+×y1+0×z1=0.

所以y1=0，x1=z1.

故可取n1=（，0，1）.

而平面ABE的一个法向量是n2=（0，0，1），设二面角A－BE－P的大小为θ，

因为cos〈n1，n2〉==，

所以〈n1，n2〉=60°. 取检验向量=，，，其中N为PE的中点，则

由本文上述结论知θ=〈n1，n2〉=60°.

例7（2007安徽）如图16，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1=2.

（1）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；

（2）求证：平面A1ACC1与平面B1BDD1垂直；

（3）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.

图16

解析（1）（2）略.

（3）以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D－xyz（如图16），

则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

A1（1，0，2），B1（1，1，2），

C1（0，1，2），D1（0，0，2）.

=（－1，0，2），

=（－1，－1，2），=（0，－1，2）.

设n=（x1，y1，z1）为平面A1ABB1的法向量，则有

n?=－x1+2z1=0，

n?=－x1－y1+2z1=0.

于是y1=0. 取z1=1，

则x1=2，n=（2，0，1）.

设m=（x2，y2，z2）为平面B1BCC1的法向量，则有

m?=－x2－y2+2z2=0，

m?=－y2+2z2=0.

于是x2=0.

取z2=1，

则y2=2，m=（0，2，1），

cos〈m，n〉==.

所以二面角A－BB1－C的大小为π－arccos或arccos.

取检验向量=（－2，2，0），

则?n=（－2，2，0）?（2，0，1）=－40.

由本文上述结论，有θ=π－〈n，m〉=π－arccos.

在此，笔者再介绍一种两平面的法向量所成的角与二面角是“相等”还是“互补”的简捷、有效的方法.

定义：设平面α的法向量n在平面α的一侧，若向量n的终点到平面α的距离小于向量n的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量指向平面α（如图17）. 若向量n的终点到平面α的距离大于向量n的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量背离平面α（如图18）.

图17

图18

设两个平面的法向量在二面角α－l－β内，若平面α的法向量n1指向（背离）平面α，同时平面β的法向量n2指向（背离）平面β，则二面角α－l－β为π－θ（如图19）；若平面α的法向量n1指向（背离）平面α，同时平面β的法向量n2背离（指向）平面β，则二面角α－l－β为θ（如图20），因此，二面角α－l－β的平面角为法向量n1与法向量n2所成的角θ或π－θ.

则上述结论可概括为“同补异等”（若n1，n2对于α与β，同为指向或背离时，θ=π－〈n1，n2〉；若n1，n2中一个指向，另一个背离时，θ=〈n1，n2〉）.

我们以例6和例7为例说明：

在例6中，n1在二面角A－BE－P内，向量n1指向平面PBE，n2在二面角A－BE－P内，n2背离平面ABE，所以两个法向量的夹角〈n1，n2〉就是所求二面角的大小，即为60°.

在例7中，n在二面角A－BB1－C内指向平面ABA1B1，m在二面角A－BB1－C内指向平面BB1CC1，

所以二面角A－BB1－C的平面角是法向量夹角〈n，m〉的补角，即为π－arccos.

由上例可以看出，法向量求解二面角的思路还是比较独特的，用代数的方法解决了几何问题. 其中，直角坐标系的建立应该是基础，而判断两平面的法向量所成的角与二面角的平面角是“相等”还是“互补”则是难点和关键.

运用上述策略求解二面角时，一般可依次进行，即先“找”，看几何图形中有无二面角的平面角，若有，则“指证”→“算”，如例1；若“找”不到就“作”，若作出，则“作”→ “指证”→“算”，“作”不出或不易“作”出时，就“造”，构造“射影”或构造“向量”.

总之，求解二面角问题的方法多，也比较活. 作为初学者，只有在认清各个方法特点的基础上，通过大量的学习才能达到熟练掌握与熟练运用的目的.

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用几何法求二面角的步骤

定义　　平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面） 二面角的平面角　　以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 [编辑本段]二面角的大小范围　　0≤θ≤π

相交时 0＜θ＜π，共面时 θ＝π或0 二面角的求法　　作二面角的平面角的常用方法有六种：

1.定义法

2.垂面法

3.射影定理

4.三垂线定理

5.向量法

6.转化法

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得

也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α

二面角的通常求法：

（1）由定义作出二面角的平面角；

（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；

（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；

（4）空间坐标求二面角的大小。

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

求二面角大小的基本步骤

（1）作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；

D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

（2）证明该角为平面角；

（3）归纳到三角形求角。

另外，也可以利用空间向量求出。 二面角与平面角的关系　　二面角的大小就用它的“平面角”来度量。二面角的平面角大小数值就等于二面角的大小。

高考数学问题，如何用空间向量求立体几何中的二面角的正切值

向量法：利用两个平面的法向量M，N的夹角来求，这是高考中最有效的办法不管有多难都可求出二面角的大小，也是最好的办法。不过求出后要根据二面角的实际大小来判断算出的结果与实际情况下的角是否相同利用空间向量求二面角的平面角步骤（设二面角平面角为θ）

1）建立空间直角坐标系；

2）设平面

的法向量为N(X1，Y1，Z1)，平面

法向量为M(X2，Y2，Z2)；

3）在

内找两条线L1，L2，让N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出；

4）然后利用cosθ=N?M/|N|×|M|即可求出θ的值

说明：锐二面角时，法向量的夹角即该二面角的平面角钝二面角时，法向量的夹角的补角为二面角的平面角

请问一下高中数学立体几何部分，关与二面角，线面角的解题方法和解题标准格式（还没学过空间向量）

答：1、如果知道这两个平面的法向量，就用这两个平面的法向量的点积除以两个法向量的模的积；得出两个法向量的余弦值。这个余弦值是两个平面角的负余弦值；如果平面角为a，这个余弦值就是cos（180D-a）=-cosa。sina=√(1-cos^2a)(是正数-算数根)；正切值：tana=sina/-cosa。

2、在不知道平面的法向量的条件，下找出两个平面的每一个平面的任意两条边（同一平面内的两条边只要是不相互垂直就可以）；做出每条边的向量，同一平面内的两条向量的叉积就是这个平面的法向量（注意如果无法判断两面角是锐角还是钝角，按照右手系使法向量指向平面角的内部方向）；然后求两个法向量的余弦值；其它同1。

二面角的做法

第一：作线

PA垂直平面ABCD,AB=2，PC与平面ABCD成45°角，EF分别为PA，PB的中点，求异面直线DE与AF所成角的大小的余切值

比如这题，看似无交点的两条直线的夹角可以做平行线进行解决：在AB的延长线上作一点G，使得AG=EF=1，则有GE平行于AF，则有直线AE与DE的夹角为：∠GED。AE为DE在平面ABP上的投影，则有COS∠GED=COS∠AED*COS∠AEG=根号3/3*根号2/2=根号6/6。

注：COS∠GED=COS∠AED*COS∠AEG这个公式在解决二面角的问题上面有奇效。

第一：作面

AB垂直平面BCD，BD垂直CD，若AB=BC=2BD，求二面角B-AC-D的正弦值。

过D作与直线AC垂直的平面DEF，交AC于E，BC于F。

AC垂直平面CEF，所以DF垂直AC，AB垂直平面BDC，所以DF垂直AB。

所以DF垂直平面ABC，所以DF垂直BC。则△BDC中存在：BD*CD=DF*BC

设BD=1，则AB=BC=2。所以CD=根号3。所以DF=根号3/2。

同理在△ADC中推理可得：根号30/4

则：二面角B-AC-D的正弦值=sin角DEF=DF/DE=根号10/5。

注：作与二面角棱垂直的平面式关键。

第三：作投影

还是第二题，我们换种解法。

过D作DE垂直BC。DE垂直BC，AB垂直DE。所以DE垂直平面ABC。

所以△ADC在平面ABC上的投影为△AEC。

利用公式：cosD-AC-E=S△AEC/S△ADC=AD*DC/（AB*CE）

只需要求出线长即可得到cosD-AC-E的值，再转换成正弦值即可。

注：cosD-AC-E=S△AEC/S△ADC是关键，这个方法做选择题和填空题的效果最好。但缺点是不一定可以用。

第四：作坐标

也就是向量，向量方法也很快。做填空选择效果也很好。

二面角是高考常考的一类问题，几乎每年的理科卷都会涉及到二面角的求法。而有些同学在解决这块内容是往往无从下手，今天把常见方法进行整理，希望可以给你们带来帮助。

一、定义法

是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法。

二、三垂线法

是指利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造 出二面角的平面角 ，继而求出平面角的方法。

三、垂面法

是指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法。

四、面积射影法

所谓面积射影法 ，就是根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角。

五、法向量法

法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成 的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。（如何判断相等还是互补的问题，将在近期公布）

六、垂线法

是指先利用待定系数法确定垂足，再利用公式求出二面角的大小。