高考函数的最值_高考函数最值问题论文内容简要

1.高分关于高中数学，函数最大值最小值的问题

2.x函数最大值

3.高三数学函数最值问题

4.高三数学函数的图像与最值

5.怎么求函数在闭区间上的最值？

6.高考中对求函数在闭区间上最值的格式要求

三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角,代数,几何之间的联系,培养学生的思维能力.

本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.

一,利用三角函数的有界性

利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值.

[例1]a,b是不相等的正数.

求y=的最大值和最小值.

解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小).

y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x

=a+b+

∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1

∴当sin2x=±1时,即x=(k∈Z)时,y有最大值;

当sinx=0时,即x= (k∈Z)时,y有最小值+.

二,利用三角函数的增减性

如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β).

[例2]在0≤x≤条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值.

解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有

y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1

=2 (cos2xcos-sin2xsin)-1

=2cos(2x+)-1

∵0≤x≤,≤2x+≤

cos(2x+)在[0,)上是减函数

故当x=0时有最大值

当x=时有最小值-1

cos(2x+)在[,]上是增函数

故当x=时,有最小值-1

当x=时,有最大值-

综上所述,当x=0时,ymax=1

当x=时,ymin=-2-1

三,换元法

利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.

[例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值.

解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x

=1+2sinxcosx-sin2xcos2x

令t=sin2x

∴-≤t≤ ①

f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ②

在①的范围内求②的最值

当t=,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)max=

当t=-,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)min=-

附:求三角函数最值时应注意的问题

三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考,高考必考内容,在求解中欲达到准确,迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:

一,注意sinx,cosx自身的范围

[例1]求函数y=cos2x-3sinx的最大值.

解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+

∵-1≤sinx≤1,

∴当sinx=-1时,ymax=3

说明:解此题易忽视sinx∈[-1,1]这一范围,认为sinx=-时,y有最大值,造成误解.

二,注意条件中角的范围

[例2]已知|x|≤,求函数y=cos2x+sinx的最小值.

解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+

∵-≤x≤

∴-≤sinx≤

∴当sinx=-时

ymin=-(--)2+=

说明:解此题注意了条件|x|≤,使本题正确求解,否则认为sinx=-1时y有最小值,产生误解.

三,注意题中字母(参数)的讨论

[例3]求函数y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值.

解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a-

∴当0≤a≤2时,cosx=,ymax=+a-

当a>2时,cosx=1,ymax=a-

当a<0时,cosx=0,ymax=a-

说明:解此题注意到参数a的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cosx=时,y有最大值会产生误解.

四,注意代换后参数的等价性

[例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值.

解:设t=sinθ-cosθ=sin(θ-)

∴2sinθcosθ=1-t2

∴y=-t2+t+1=-(t-)2+

又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π

∴-≤θ-≤

∴-1≤t≤

当t=时,ymax=

当t=-1时,ymin=-1

说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=时有最大值而无最小值的结论.

1.y=asinx+bcosx型的函数

特点是含有正余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正,余弦函数转化为只有一种三角函数.应用课本中现成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=.

例1.当-≤x≤时,函数f(x)=sinx+cosx的( D )

A,最大值是1,最小值是-1 B,最大值是1,最小值是-

C,最大值是2,最小值是-2 D,最大值是2,最小值是-1

分析:解析式可化为f(x)=2sin(x+),再根据x的范围来解即可.

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数

特点是含有sinx, cosx的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式来解.

例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时的x的集合.

解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x

=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x

=1+sin2x+1+cos2x

=2+sin(2x+)

当sin(2x+)=-1时,y取最小值2-,此时x的集合{x|x=kπ-π, k∈Z}.

3.y=asin2x+bcosx+c型的函数

特点是含有sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.

例3.求函数y=cos2x-2asinx-a(a为常数)的最大值M.

解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a,

令sinx=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1)

(1) 若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a.

(2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时,在t=-a时,取最大值M=a2+1-a.

(3) 若-a>1,即a0,

y2=4cos4sin2

=2·cos2·cos2·2sin2

所以0 注:本题的角和函数很难统一,并且还会出现次数太高的问题.

6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式.

其特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子,处理方式是应用

(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 进行转化,变成二次函数的问题.

例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1,

所以y=t2-1+t=(t+)2-,

根据二次函数的图象,解出y的最大值是1+.

相信通过这一归纳整理,大家对有关三角函数最值的问题就不会陌生了.并且好多其它的求最值的问题可以通过代换转化成三角求最值的问题.希望同学们在做有关的问题时结合上面的知识.

高分关于高中数学，函数最大值最小值的问题

最值问题是高中数学中永恒的话题，可综合地考查函数的性质、导数、均值不等式、线性规划、向量等知识的应用；涉及到代数、三角、几何等方面的内容；体现数学中的数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程等思想与方法，并能综合考查学生的数学思维能力、分析和解决问题的能力，是历届高考中的焦点、热点、难点.本文就近几年高考中的常见类型略作探讨，难免有不当之处，权作抛砖引玉.

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一、代数问题

一般通过考察常见函数的单调性，或者能够利用导数问题研究其单调性，在定义域内求最值，或者通过方程思想，得到不等式再求最值.

例1（2008·江西·第9题）若0<x<y<1，则（ ）.=""　A.3y<3x B.logx3<logy3　C.log4x<log4y d.<=""　简析：本题直接利用指数函数、对数函数的单调性，但对于B选项，真数相同，底数不同的情况，通过数形结合，可排除，选C.

例2求二次函数在[0，a]上的最值.

解析：=+2

结合图像，需对a进行分类讨论：

①若0≤a≤1，==3，=；

②若1　　③若a>2，=，==2.

评注：求在有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住两点：①二次函数图像的开口方向；②二次函数图像的对称轴与所给闭区间的相对位置关系.

此类型最值必然在区间端点或图像顶点处取得.

例3（2005·全国卷Ⅱ·文21题改编）

设a为实数，函数，求的最值.

解析：令=3x2-2x-1=0得=-，=1

∵，≥0，

∴函数在上是增函数，

∴==a+

显然不存在最小值.

与本题类似，2008全国卷I第19题、全国卷Ⅱ第22题（文）都出现了与导数有关的判断函数单调性的问题.

评注：导数知识放在高中阶段学习，为高中数学增添了许多亮点，同时也为高考数学的考查方向和难度提供了许多有利的条件.

例4已知，，求的最小值.

解法1：==5+≥5+=9

（当且仅当且x+y=1，即时取“=”号）

∴的最小值等于9.

说明：此法符合均值不等式的条件“一正二定三相等”.

解法2：∵x+y=1，令，（）

∴=

=

=

=≥=9

说明：此解法运用了三角换元，最后又运用了重要不等式，与法1实质相同.

解法3：利用柯西不等式

==

≥==9

说明：实质上令，，是的应用.

解法4：令=t，由，消去y可得：

转化为上述方程在内有解，故有，可得到t≥9.

所以最小值等于9.

说明：本解法体现了转化思想、方程思想.

评注：对本题的四种解法中，我们可看到解法1、解法2是较为简洁的.我们提倡一题多解，善于发现、总结，从中找出最优解法，逐步提高分析问题、解决问题的能力.

二、三角函数问题

三角函数作为一种重要的函数，也是高考考查的重点.三角函数常借助三角函数的有界性或利用换元转化为代数的最值问题.

例5（2008·全国卷Ⅱ·第8题）若动直线与函数与的图像分别相交于M、N两点，则的最大值为（ ）.

A.1 B. C. D.2

分析：画图像，数形结合是很难得到答案的.

易得，，则，利用正弦函数的有界性易知最大值为.

例6（2004全国卷）求函数的最大值.

解析：，

而，∴

评注：令，则，这样转化为区间或其子集上的二次函数的值域问题.类似的结构还有：，，等.

例7（2008重庆·第10题）

函数的值域为（ ）.

A. B. C. D.

分析：观察式子结构，若化为

∵，∴

但最小值不能直接观察出.因为分子取最小值时，分母取不到最小正数.

变形为另一种形式：，观察结构，

再配凑，会发现什么？

令，，问题转化为求的最值问题，数形结合，易知的范围是[]，从而选B.

可见向量作为工具的重要应用，应多观察、联想、对比、发现，从中寻找解决问题的最佳途径.

上述介绍的数学思想与方法是根据近几年部分高考试题总结的，也是最值求解问题中最常用的，只要在平时注意归纳，加强训练，就能够熟练运用.但没有任何一种方法能够“包打天下”，因此在具体实施时，还需要注意解题方法的选择，及各种思想方法的综合使用，实现优势互补，这样才能够“游刃有余”.

x函数最大值

看三角函数图像，sinx的最大值是1最小值是-1，当x=......-9π/2 -5π/2 -π/2 π/2 5π/2 9π/2.......时sinx的值都是1，此时只是K取不同的值，这里K是取整数的，正整数，0，负整数。

高三数学函数最值问题

分析： 先对函数根据两角和与差的正弦公式进行化简，然后根据正弦函数的性质--最值及取得最值时的x的值，得到答案． ∵=sinx+cosx+sinx-cosx=sinx∴函数的最大值等于，此时x=（k∈Z）故答案为：（k∈Z）， 点评： 本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的最值及取得最值时的x的值．三角函数是高考的必考点，其基础知识--单调性、奇偶性、最值等都是经常被考到的．

高三数学函数的图像与最值

解：f(x)=x?-3x+1/(x-1)+3

f'(x)=2x-3-1/(x-1)?

令f'(x)=0得：

2x-3-1/(x-1)?=0

(2x-3)(x-1)?=1

2x?-7x?+8x-4=0

(x-2)(2x?-3x+2)=0

则x=2

∵1<x<2时，f‘(x)<0

x>2时，f'(x)>0

∴fmin=f(2)=4-6+1+3=2

怎么求函数在闭区间上的最值？

只要结果有3，19即可。所以x必须从正负1中至少选一个，并且也要从正负3中至少选择一个。所以一共有这样几种情况：

1，3；

1，-3；

-1，3；

-1，-3；

1，-1，3；

1，-1，-3；

1，3，-3；

-1，3，-3；

1，-1，3，-3

所以有9种情况

高考中对求函数在闭区间上最值的格式要求

导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.

使用情景：一般函数类型

解题模板：

第一步 求出函数 在开区间 内所有极值点；

第二步 计算函数 在极值点和端点的函数值；

第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

例 若函数 ，在点 处的切线斜率为 ．

（1）求实数 的值；

（2）求函数 在区间 上的最大值．

解析

（1） ，

，

即 ，

解得 ；

（2） 为递增函数，

， ,

存在 ，使得 ，

所以 ， 在 内的变化如下表：

所以 ,

总结本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型有选择题、填空题，也常出现在解答题的第（1）问中，难度偏小，属中低档题，常有以下几个命题角度：

①已知切点求切线方程、已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程、

②已知曲线求切线倾斜角的范围.

求导y'=6x^2+6x-12

当x<-2或x>1时，y'>0，y为增函数；当-2<x<1时，y'<0，y为减函数；

所以在区间：[-3,

-2]内，y递增；在[-2,

1]内，y递减；在[1,

4]内，y递增；

x=-3时，y=23

x=-2时，y=34

x=1时，y=7

x=4时，y=142

所以最小值=7

最大值=142