高考集合难题,集合 高考题

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一、基础知识：(参阅《金牌之路?竞赛辅导?高中数学》第一讲：集合；第三十八讲：容斥原理；《金牌之路?竞赛解题指导?高中数学》第2讲：集合)

1. 元素与集合：a∈A,b?A

2. 集合与集合：A B,A?B,A?B,A∩B,A∪B, UA,……

3. 差集：A－B＝{x|x∈A且x?B}(部分资料上用“A\B”表示)

4. 集合运算律：(略)

5. n个元素的集合所有子集个数为：2n

6. 覆盖与划分：如果集合S＝S1∪S2∪……∪Sn，则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个覆盖；如果同时又有Si∩Sj＝φ(i≠j),则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个划分.

7. 容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)

card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)

－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)

＋card(A∩B∩C)

该结论可以推广到n个集合.

8. 命题与推理：简单命题与复合命题，逻辑关连词“或”、“且”、“非”的应用，逆命题、否命题、逆否命题及其真假性的判断

9. 充要条件：如果A?B，则称A是B的充分条件，同时称B是A的必要条件

10. 数学悖论：对于命题p，如果p正确，则可以推导出“非p”，而如果p错误，又可以推导出p正确。也称“二难问题”。

二、例题：

1. 已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，则这样的x的不同的值有( )个

A.1 B.2 C.3 D.4已知集合M中的元素都是自然数，且如果x∈M，则8－x∈M，则满足这样条件的集合M的个数为( )(注：自然数包括0)

A.64 B.32 C.16 D.8求集合{x∈Z| ≤2x＜32}的真子集个数.

4. 在1～120的120个自然数中，素数与合数各有多少个？

5. 已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值.

6. 在数理化三科竞赛辅导中，高一10、11、12班参加数学辅导的有168人，参加物理辅导的有187人，参加化学辅导的有155人，数学、物理两科都参加的有139人，数学、化学两科都参加的有127人，物理、化学两科都参加的有135人，数理化三科都参加的有102人，问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？

解：根据容斥原理，至少参加一科辅导的学生人数为：

168＋187＋155－139－127－135＋102＝211

7. 求证：任意n＋1个整数中，总有两个整数的差能被n整除。

提示：利用余数构造n个集合，根据抽屉原理，至少有两个整数放在一个集合里，它们同余，它们的差一定能被n整除.

8. 证明：若购买超过17千克（整数千克）的粮食，只用3千克和10千克的粮票支付，而无需要找补。

解：本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m＋10n的形式，其中m,n都是非负整数.注意到：大于17的整数可以写成3k,3k＋1,3k＋2(k≥6)的形式，而3k＋1＝3(k－3)＋10,3k＋2＝3(k－6)＋10×2，因此它们都能够表示成3m＋10n的形式，其中m,n都是非负整数.

9. 设A是数集，满足若a∈A，则 ∈A，且1?A.

⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.

⑵A能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论.

⑶若a∈A，证明：1－ ∈A.

解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A

∴ A中至少还有两个元素：－1和

⑵如果A为单元素集合，则a＝

即a2－a＋1＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集

但该方程有两个虚数解：a＝ i

故在复数范围内，A可以是单元素集，A＝{ i}或A＝{ i}

⑶a∈A ? ∈A ? ∈A，即1－ ∈A

10. 设S为集合{1，2，3，……，50}的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S中元素最多有多少个？

将这50个数按照7的余数划分成7个集合

A0={7,14,21,28,35,42,49}

A1={1,8,15,22,29,36,43,50}

A2={2,9,16,23,30,37,44}

A3={3,10,17,24,31,38,45}

A4={4,11,18,25,32,39,46}

A5={5,12,19,26,33,40,47}

A6={6,13,20,27,34,41,48}

除去A0中的7个元素外，其余集合中的元素都不能被7整除，而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除，但是，A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话，这两个元素之和能够被7整除，因此，所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个，然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素，为了“最多”，必须取A1中的8个，然后可以取A2、A3中各7个元素，因此S中元素最多有1+8+7+7=23个

11. 已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等.

解：这10个元素的总和S＜100×10＝1000

而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S

根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为M、N，

如果M、N没有公共元素，则M、N就是满足题意的子集，命题得证.

如果M、N中有公共元素，记M∩N＝Q,

考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q

则M'、N'中没有公共元素，且M'、N'的元素之和相等，同时它们都是A的子集.

即M'、N'为所求集合.

命题成立！

12. 老师手中拿有三顶白色帽子和两顶红色帽子，他让三个学生按前后顺序站成一列，然后让他们闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，并将剩下的两顶帽子藏了起来，三人睁开眼睛后，后面的人可以看见前面人的帽子颜色.这时老师问：“你们谁能判断出自己戴的帽子的颜色？”结果三人都说：“不能！”老师又说：“你们再考虑考虑，能判断出来吗？”三人思考了一会儿，还是都说：“不能！”老师再一次问：“真的不能吗？”，这时，站在最前面的同学突然说：“老师，我知道我戴的帽子颜色了！”请问，这位同学戴的帽子是什么颜色的？他又是怎样判断出自己帽子的颜色的？

答：白色.

不妨从前到后记三人为甲乙丙，

第一次问，甲乙自然无法判断，而丙也无法判断，说明甲乙二人戴的帽子颜色为“两白”或“一红一白”

第二次问，丙的情形没有变化，也无法判断，这时，甲和乙可以动脑筋了，既然甲乙的帽子颜色为“两白”或“一红一白”，如果乙看到甲的帽子颜色为红色，则乙的帽子颜色肯定为白色，这样乙就应该在老师第二次提问时回答出答案，这说明乙看到的甲的帽子颜色为白色.因此乙无法判断自己帽子的颜色.

这样，当老师第三次提问时，甲就可以利用前两次乙和丙“不知道”的回答给自己的提示，从而准确地判断出自己所戴帽子的颜色为白色.

13. 孙膑是中国古代著名的军事学家，他的兵法众人皆知.一天，大王决定要考一考孙膑的才能，便对孙膑说：“请你用计让我走下我的宝座.”一旁的庞涓争着说：“我把大王拖下来！”大王对他的答案立即给予否定：“这不是用计！”庞涓又说：“那我用火烧！”大王也不以为然，这时孙膑说：“大王，要你走下宝座确实不易，但如果你来到宝座下面的话，我可以用计让你走回去！”大王一心要试一试孙膑的智力，毫不犹豫地走了下来等待孙膑用计，这时孙膑说：“大王，我已经成功了！”大伙儿一时都糊涂了，这是怎么回事呢？

其实这是孙膑给大王设下了一个“二难”的格局，如果大王不下宝座，则孙膑的的前提“如果你来到宝座下面”不成立，这样我的智力无法表现出来了，而如果大王走下宝座，则“我已经让你走下了宝座”。因此，无论大王怎么样动作，孙膑都能够保证自己至少不输！

14. 这里是五间并排的商店。它们的店员分别是高太太(她不是美容师)、林先生(他不是水果商)、刘先生(他不是药商)、李先生(他不是杂货商)及卢**(她不是开花店的)。

卢**的店铺位于这排商店的最后一间，刘先生的隔邻是杂货店，而他跟水果商很友善，希望有一天她能把店铺转让给他。

如果上面这一段文字已经能确定出每间店铺的主人，你能得出详细结果吗？

解：注意：题目叙述中已经透露出水果商是女性，并注意到“这一段文字已经能确定出每间店铺的主人”，画出推理表即可得出正确结论

美容师 水果商 药商 杂货商 开花店

高太太 × O × × ×

林先生 × × × O ×

刘先生 × × × × O

李先生 × × O × ×

卢** O × × × ×

练习：

1. 集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a的值是( )

A.0 B.1 C.2 D.－1

2. 设A＝{x∈Z|x2－px＋15＝0}，B＝{x∈Z|x2－5x＋q＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，则集合A，B分别是( )

A.{3，5}，{2，3} B.{2，3}，{3，5} C.{2，5}，{3，5} D.{3，5}，{2，5}

3. 50名学生参加跳远和铅球两项测试，成绩及格的人数分别为40人和31人，两项成绩都不及格的有4人，那么两项成绩都及格的有( )人

A.35 B.25 C.28 D.15

4. 集合{x∈N|0＜|x－1|＜3}的真子集个数为( )

A.16 B.15 C.8 D.7

5. 设A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{ }，求A∪B.

6. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①C?A∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ.

7. 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－mx＋2＝0}，且A∪B＝A，A∩C＝C，求实数a的值和m的取值范围.

(理发师悖论)某个小岛上只有一个理发师，因此小岛上的所有人理发都只好找这个理发师，一天，这个理发师自豪地说：“我给这个小岛上所有不给自己理发的人理发，也只给这些人理发！”